/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny

Zadanie nr 6599525

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Na boku AB trójkąta ABC wybrano punkt D w ten sposób, że odległości punktów A i B od prostej CD są równe (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty ADC i BDC mają równe pola.

PIC

Rozwiązanie

Dorysujmy prostą CD oraz rzuty punktów A i B na tę prostą.

PIC

Sposób I

Zauważmy, że

PADC = 1CD ⋅AK = 1CD ⋅BL = PBDC . 2 2

Sposób II

Zauważmy, że trójkąty prostokątne AKD i BLD mają równe kąty przy wierzchołku D oraz przeciwprostokątne równej długości: AD = BD . To oznacza, że są one przystające i AD = BD . Teraz wystarczy zauważyć, że trójkąty ADC i BDC mają podstawy tej samej długości oraz wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka C :

1- 1- PADC = 2 AD ⋅h = 2BD ⋅h = PBDC .
Wersja PDF