/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Walec

Zadanie nr 6548303

W stożek o promieniu podstawy długości 9 i wysokości 12 wpisano walec, w ten sposób, że jedna podstawa walca zawiera się w podstawie stożka, a brzeg jego drugiej podstawy zawiera się w powierzchni bocznej stożka. Oblicz długość promienia podstawy i długość wysokości walca, wiedząc że pole powierzchni bocznej walca wynosi 48π .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rysujemy przekrój osiowy stożka i oznaczmy przez h i r wysokość i promień walca.

PIC

Z informacji o polu powierzchni bocznej walca mamy

2πrh = 48π ⇒ rh = 24 .

Korzystamy teraz z podobieństwa trójkątów ACS i AF E .

AC AF ----= ---- CS FE 9-- 9-−-r 12 = h 3 9 − r --= ----- 4 h 3h = 36 − 4r.

Podstawiamy to teraz do równości rh = 24 .

3rh = 3 ⋅24 r(36− 4r) = 3 ⋅24 r(9− r) = 3⋅ 6 r2 − 9r+ 1 8 = 0.

Liczymy Δ = 81 − 72 = 9 , r = 3 lub r = 6 . Stąd h = 8 lub h = 4 odpowiednio.  
Odpowiedź: (r,h) = (3,8 ) lub (r,h) = (6,4 )

Wersja PDF