W stożek o promieniu podstawy długości 6 wpisano walec, w ten... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Walec, 8466615

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Walec

Zadanie nr 8466615

W stożek o promieniu podstawy długości 6 wpisano walec, w ten sposób, że jedna podstawa walca zawiera się w podstawie stożka, a brzeg jego drugiej podstawy zawiera się w powierzchni bocznej stożka. Oblicz promień podstawy walca, jeżeli jego objętość stanowi $4 9$ objętości stożka.

Rozwiązanie

Rysujemy przekrój osiowy stożka i oznaczmy przez $h$ i $r$ wysokość i promień walca, a przez $H$ wysokość stożka.

Zauważmy, że trójkąty $AED$ i $AF S$ są podobne. Korzystając z tego podobieństwa mamy

AE--= AF-- ED FS 6− r 6 -----= -- h H H = -6h--. 6− r

Zapiszmy teraz informację o wzajemnej objętości obu ﬁgur.

4 1 πr2 ⋅h = -⋅ --⋅π ⋅62 ⋅H / : π 9 3 2 1-6 -6h-- r h = 3 ⋅ 6− r / : h 3 2 r2 = ----- /⋅ (6− r) 6 − r 6r2 − r3 = 32 3 2 r − 6r + 3 2 = 0.

Musimy teraz rozwiązać to równanie. Szukamy pierwiastków wymiernych. Sprawdzając dzielniki wyrazu wolnego można znaleźć pierwiastek $r = − 2$ . Dzielimy wielomian przez $r + 2$ , my zrobimy to grupując wyrazy.