Zadanie nr 9339502
Prostokąt obracając się wokół boku
, zakreślił walec
. Ten sam prostokąt obracając się wokół boku
, zakreślił walec
. Otrzymane walce mają równe pola powierzchni całkowitych. Wykaż, że prostokąt
jest kwadratem.
Rozwiązanie
Jeżeli naszkicujemy opisaną sytuację
to widać, że dość łatwo możemy wyliczyć pola powierzchni całkowitej obu walców.
![Pw1 = 2 ⋅πa 2 + 2πa ⋅b 2 Pw2 = 2 ⋅πb + 2πb ⋅a](https://img.zadania.info/zad/9339502/HzadR1x.gif)
(w każdym z wzorów pierwszy składnik to suma pól podstaw, a drugi pole powierzchni bocznej). Z równości pól powierzchni mamy równanie
![2 2 2πa + 2πab = 2πb + 2πba 2πa 2 = 2πb 2 / : 2π a2 = b2 ⇒ a = b .](https://img.zadania.info/zad/9339502/HzadR2x.gif)
Zatem boki prostokąta muszą być równe, czyli jest on kwadratem.