Zadanie nr 9341621
Wysokość podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość , zaś przekątna ściany bocznej tworzy z krawędzią podstawy kąt równy
. Graniastosłup ten wpisano w walec. Oblicz pole powierzchni i objętość walca.
Rozwiązanie
Oznaczmy przez długość podstawy, a przez wysokość graniastosłupa.
Z podanej wysokości trójkąta równobocznego w podstawie obliczamy długość krawędzi podstawy.
![√ -- √ -- a--3- -2-- 4 3 = 2 / ⋅√ 3- 8 = a.](https://img.zadania.info/zad/9341621/HzadR2x.gif)
Teraz patrzymy na trójkąt prostokątny .
![√ -- √ -- √ -- H- = tg π- = 3 ⇒ H = a 3 = 8 3. a 3](https://img.zadania.info/zad/9341621/HzadR4x.gif)
Zauważmy teraz, że walec opisany na graniastosłupie ma taką samą wysokość jak graniastosłup, a promień okręgu podstawy walca jest równy promieniowi okręgu opisanego na podstawie graniastosłupa, czyli
![√ -- 2 √ -- 8 3 r = --⋅4 3 = ----. 3 3](https://img.zadania.info/zad/9341621/HzadR6x.gif)
Liczymy objętość i pole powierzchni walca.
![√ -- √ -- V = πr2 ⋅H = π ⋅ 6-4⋅ 8 3 = 51-2--3π 3 3 2 64- 512π-- Pc = 2πr + 2πr ⋅H = 2π ⋅ 3 + 2π ⋅64 = 3 .](https://img.zadania.info/zad/9341621/HzadR7x.gif)
Odpowiedź: