/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Walec

Zadanie nr 9485246

W stożek o promieniu podstawy długości 10 i wysokości 15 wpisano walec, w ten sposób, że jedna podstawa walca zawiera się w podstawie stożka, a brzeg jego drugiej podstawy zawiera się w powierzchni bocznej stożka. Oblicz długość promienia podstawy i długość wysokości walca, wiedząc że pole powierzchni bocznej walca wynosi 48π .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rysujemy przekrój osiowy stożka i oznaczmy przez h i r wysokość i promień walca.

PIC

Z informacji o polu powierzchni bocznej walca mamy

2πrh = 48π ⇒ rh = 24 .

Korzystamy teraz z podobieństwa trójkątów ACS i AF E .

AC AF ----= ---- CS FE 10- 1-0−--r 15 = h 2 10 − r --= ------- 3 h 2h = 30 − 3r.

Podstawiamy to teraz do równości rh = 24 .

r⋅ 3-0−-3r= 24 /⋅ 2- 2 3 r(10− r) = 16 2 10r− r = 16 r2 − 1 0r+ 1 6 = 0.

Liczymy Δ = 100 − 64 = 36 , r = 2 lub r = 8 . Stąd h = 12 lub h = 3 odpowiednio.  
Odpowiedź: (r,h) = (2,1 2) lub (r,h) = (8 ,3)

Wersja PDF