Zadanie nr 9877022
W pojemniku o kształcie walca o promieniu podstawy umieszczono dwie kule o promieniu
, w ten sposób, że są do siebie styczne i każda z nich dotyka powierzchni bocznej walca, jak na rysunku. Jaka co najmniej musi być wysokość pojemnika, aby kule całkowicie się w nim mieściły. Oblicz objętość tego walca.
Rozwiązanie
Zaczynamy od rysunku.
W pojemniku o najmniejszej wysokości kule są do siebie styczne oraz są styczne do podstaw pojemnika. Wysokość pojemnika możemy podzielić na trzy odcinki ,
i
. Pierwszy i trzeci mają długość
a długość drugiego możemy obliczyć z trójkąta prostokątnego
. Zauważmy, że długość odcinka
to średnica podstawy walca minus dwa promienie wpisanych kul. Zatem
![AB = 2∘R-−--2r =-16-− 10 = 6 2 2 √ --------- BC = AC − AB = 100 − 36 = 8.](https://img.zadania.info/zad/9877022/HzadR7x.gif)
Zatem wysokość walca wynosi
![H = AD + BC + CE = 5 + 8 + 5 = 18.](https://img.zadania.info/zad/9877022/HzadR8x.gif)
Liczymy objętość
![2 V = πR H = π ⋅64⋅ 18 = 1152 π.](https://img.zadania.info/zad/9877022/HzadR9x.gif)
Odpowiedź: Wysokość: 18, objętość: