Zadanie nr 1707026

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym cosinus kąta między krawędziami bocznymi, które nie są sąsiednie jest równy , a pole koła opisanego na podstawie ostrosłupa jest równe . Oblicz cosinus kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Promień okręgu opisanego na kwadracie w podstawie to po prostu połowa długości przekątnej, czyli √- r = a-2- 2 , gdzie przez oznaczyliśmy długość krawędzi podstawy. Mamy zatem

( √ -) 2 2 2 a---2 a-π- 6 π = πr = π ⋅ 2 = 2 √ --- √ -- a2 = 1 2 ⇒ a = 12 = 2 3.

Spróbujemy teraz obliczyć długość krawędzi bocznej ostrosłupa. Piszemy w tym celu twierdzenie cosinusów w trójkącie ACS .

AC 2 = SA 2 + SC 2 − 2SA ⋅SC ⋅cosβ √ -- (2 6 )2 = 2b2 − 2b2 ⋅ 4 / : 2 7 ( 4) 3b2 7 12 = b2 1− -- = ---- / ⋅ -- 7 7 √ -- 3 b2 = 28 ⇒ b = 2 7.

Jeżeli jest środkiem odcinka , to

∘ ----------------- ∘ ---2------2 √ --2 √ --2 √ ------- √ --- SF = SB − BF = (2 7) − ( 3) = 2 8− 3 = 25 = 5.

Aby zaznaczyć teraz kąt między sąsiednimi ścianami SBC i SCD zaznaczamy rzut prostopadły punktów i na krawędź (płaszczyzna BED jest więc prostopadła do krawędzi wspólnej płaszczyzn SBC i SCD ). Długość odcinka BE = DE obliczamy porównując dwa wzory na pole trójkąta SBC .