/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy czworokątny

Zadanie nr 2376636

Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy 35 . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

PIC

Oznaczmy przez a długość krawędzi podstawy ostrosłupa. Korzystając ze wzoru na długość przekątnej kwadratu mamy

√ -- a--2- EC = 2 .

Z podanego cosinusa kąta α między krawędzią ostrosłupa, a płaszczyzną podstawy mamy

√ - 3 EC a--2 a√ 2- 5 5 √ 2- --= cos α = ----= -2-- ⇒ SC = -----⋅ --= -----a. 5 SC SC 2 3 6

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym SCE .

2 2 2 SE + EC = SC a2 50 2 2 56+ 2--= 36a 2 56 = 32-a2 / ⋅ 3-6 36 3 2 √ -- √ -- a 2 = 8⋅3 6 ⇒ a = 2 2 ⋅6 = 1 2 2.

Obliczamy jeszcze wysokość h ściany bocznej ostrosłupa.

∘ ------(--)-2 √ --------- √ ---- √ --- h = SE2 + a- = 256 + 72 = 3 28 = 2 82 . 2

Pozostało obliczyć pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.

1 √ ---- √ --- P = PABCD + 4PBCS = a2 + 4 ⋅--⋅a ⋅h = 288 + 48 164 = 28 8+ 96 41. 2

 
Odpowiedź: √ --- Pc = 2 88+ 96 41

Wersja PDF