/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy czworokątny

Zadanie nr 5440384

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości H = 16 . Suma długości wszystkich jego krawędzi jest równa √ -- 128 2 . Oblicz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

PIC

Oznaczmy przez a długość krawędzi podstawy ostrosłupa i przez x długość jego krawędzi bocznej. Mamy zatem

√ -- √ -- 128 2 = 4a + 4x ⇒ x = 32 2 − a.

Korzystając ze wzoru na długość przekątnej kwadratu mamy

√ -- a--2- EC = 2 .

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym SCE .

SE 2 + EC 2 = SC 2 2 √ -- 2 56+ a--= x 2 = 2048 − 64 2a+ a2 2 a2 √ -- 0 = ---− 64 2a + 1792 2 2 Δ = 81 92− 3584 = 4 608 = 2 ⋅48 a = 64√ 2-− 48√ 2-= 16√ 2- lub a = 64 √ 2+ 48√ 2-= 11 2√ 2.

Druga odpowiedź prowadzi jednak do sprzeczności, bo wtedy √ -- x = 32 2− a < 0 . Mamy zatem a = x = 16√ 2- .

Liczymy teraz wysokość ściany bocznej

( a) 2 1 3 h2 = x2 − -- = a2 − -a2 = -a2 √ -- 2 4 4 3 h = ----a. 2

Stąd

√ -- a2 a2 1 3 cos α = -- = -√3- = √---= ---. h 2-a 3 3

 
Odpowiedź: √ - --3 3

Wersja PDF