Zadanie nr 6881343

Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest równa 22, a tangens kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równy √ - 4--6 5 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Dorysujmy wysokość ściany bocznej.

Sposób I

Podany tangens kąta nachylenia wysokości ściany bocznej do podstawy pozwala nam wyznaczyć zależność między długością krawędzi podstawy , a wysokością ostrosłupa – patrzymy na trójkąt prostokątny SOE .

√ -- 4 6 SO H 2H 5 5H ----- = tg α = ----= -a = ---- ⇒ a = 2H ⋅ -√---= -√--. 5 OE 2 a 4 6 2 6

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie SOE .

SO 2 + OE 2 = SE 2 ( a) 2 H 2 + -- = 222 ( 2 ) 2 5H 2 2 H + -√--- = 22 4 6 H 2 + 25H 2 = 222 96 2 12 1 2 H ⋅---- = 22 96 2 H 2 = 22--⋅96 = 4 ⋅96 H = 2√ 96-= 2 ⋅4√ 6-= 8 √ 6. 112

Stąd

√ -- a = -5√H--= -√5--⋅8 6 = 20. 2 6 2 6

Pozostało obliczyć objętość ostrosłupa

√ -- 1- 2 1- 2 √ -- 3-200--6 V = 3a H = 3 ⋅20 ⋅8 6 = 3 .

Sposób II

Tym razem obliczmy najpierw sin α i cosα . Szkicujemy trójkąt prostokątny, w którym √ - tg α = 4--6 5 . Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.