/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy czworokątny

Zadanie nr 8616761

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Przedstawiona na rysunku bryła to ostrosłup prawidłowy czworokątny ścięty płaszczyzną równoległą do jego płaszczyzny podstawy. Wysokość tej bryły jest równa H , a a i b (a > b ) są długościami krawędzi jego podstaw. Oblicz objętość tej bryły.

PIC

Rozwiązanie

Dorysujmy brakującą część ostrosłupa.

PIC

Jeżeli H 1 jest wysokością odciętego ostrosłupa, to z podobieństwa trójkątów KAS i LBS mamy

SK- = KA-- SL LB - a√-2- H--+-H-1 = -√2- H1 b-2- 2 -H- + 1 = a- H 1 b H a− b Hb --- = ------ ⇒ H 1 = -----. H 1 b a − b

Liczymy teraz objętość ściętego ostrosłupa

1 1 1 1 V = -a 2 ⋅(H + H 1)− -b2 ⋅H 1 = -a2H + --H 1(a2 − b 2) = 3 3 3 3 = 1a 2H + 1⋅ -Hb--⋅ (a− b )(a+ b ) = 3 3 a− b 1 2 1 1 ( 2 2) = -a H + -Hb (a + b) = --H a + ab + b . 3 3 3

 
Odpowiedź: 1 ( 2 2) V = 3H a + ab+ b

Wersja PDF