/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Trapez

Zadanie nr 2709997

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Podstawy trapezu ABCD mają długości AB = a i CD = b . Na ramionach trapezu wybrano punkty K i L w ten sposób, że odcinek KL jest równoległy do podstaw i dzieli trapez na dwa trapezy o równych polach. Oblicz długość odcinka KL .

Rozwiązanie

Niech KL = x i oznaczmy wysokości trapezów ABLK i KLCD przez h1 i h2 odpowiednio.

PIC

Zapiszmy fakt, że pola dwóch utworzonych trapezów stanowią połowę pola trapezu ABCD

a+--x- 1- a+--b- ---h1--- -(a+--b)- 2 ⋅h1 = 2 ⋅ 2 (h1 + h2) ⇒ h 1 + h 2 = 2(a + x) b+--x-⋅h2 = 1-⋅ a+--b(h1 + h2) ⇒ ---h2---= -(a+--b)-. 2 2 2 h 1 + h 2 2(b + x)

Dodajemy dwie powyższe równości stronami i mamy

(a+ b) (a + b) 1 = ---------+ --------- 2(a + x) 2(b+ x) 2 (a+ x)(b+ x) = (a + b)(b + x) + (a + b)(a+ x) 2 2 2 2ab + 2ax + 2bx + 2x = ab+ ax + b + bx + a + ax + ab + bx 2x 2 = b2 + a2 ∘ -------- a-2 +-b2 x = 2 .

 
Odpowiedź: ∘ --2--2 a+b2--

Wersja PDF