Zadanie nr 1101814
Trójkąty 
i 
są równoboczne oraz 
. Punkty 
leżą na jednej prostej. Punkty 
i 
są środkami odcinków 
i 
. Wykaż, że punkty 
i 
są wierzchołkami trójkąta równobocznego.
Rozwiązanie
Dorysujmy trójkąt 
.
Zauważmy, że odcinek 
jest odcinkiem łączącym środki boków w trójkącie 
, jest więc równoległy do odcinka 
, a ten z kolei jest równoległy do prostej 
(bo z założenia trójkąty 
i 
są przystające).
Popatrzmy teraz na odcinek 
. Jest to odcinek łączący środki ramion w trapezie 
, czyli jest równoległy do podstaw tego trapezu (zamiast korzystać z własności trapezu mogliśmy skorzystać z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa). Zatem 
. W szczególności
Podobnie (patrząc na odcinek 
w trapezie 
) uzasadniamy, że 
. Stąd
Uzasadniliśmy, że dwa kąty trójkąta 
mają miarę 
. To oznacza, że jest to trójkąt równoboczny.
