Zadanie nr 5505720

Wyznacz pole trójkąta równobocznego, którego wysokość jest o 1 cm krótsza od boku tego trójkąta.

Rozwiązanie

Możemy zacząć od szkicowego rysunku.

Skorzystamy ze wzorów na wysokość i pole trójkąta równobocznego:

√ -- h = a--3- 2 a 2√ 3- P = ------. 4

Z treści zadania i ze wzoru na wysokość mamy równanie

h = a− 1 √ -- a---3 2 = a − 1 / ⋅2 √ -- a 3 = 2a−√ 2- √ -- 2 = a(2− 3) / : (2 − 3) √ -- √ -- ---2---- ----2-(2+----3)---- 2(2-+---3-) √ -- a = √ --= √ -- √ --= 4− 3 = 4+ 2 3. 2− 3 (2 − 3 )(2+ 3)

Pole trójkąta możemy policzyć na dwa sposoby:

Sposób I

Korzystamy z podanego wcześniej wzoru

2√ -- √ --2√ -- √ -- √ -- P = a---3-= (4-+-2--3)---3-= (16-+-16--3-+-1-2)--3 = 4 √ -- √ -4 √ -- 4 = (4 + 4 3+ 3) 3 = 7 3 + 12.

Sposób II

Możemy też skorzystać ze wzoru:

-- -- P = 1ah = 1-a(a− 1 ) = 1(4 + 2√ 3)(3+ 2√ 3) = 2 2- -- 2 -- -- -- = (2+ √ 3)(3+ 2√ 3) = 6 + 4√ 3 + 3 √ 3+ 6 = 12 + 7√ 3.

Odpowiedź: √ -- (7 3 + 12) cm 2