Zadanie nr 2672743

Kąt przy podstawie trójkąta równoramiennego ABC ma miarę ∘ 30 . Uzasadnij, że pole trójkąta jest trzy razy mniejsze od pola trójkąta równobocznego o boku równym podstawie trójkąta ABC .

Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy, że jeżeli zbudujemy (narysujemy) trójkąt równoboczny ABS o boku równym podstawie danego trójkąta równoramiennego, to można go podzielić na 3 trójkąty przystające do trójkąta ABC . W takim razie rzeczywiście

PABC = 1PABS . 3

Sposób II

Oznaczmy długość podstawy trójkąta ABC przez i niech będzie środkiem podstawy . Przy tych oznaczeniach pole trójkąta równobocznego o podstawie jest równe

2√ -- P = (2a)---3-= a2√ 3-. 4

Zauważmy, że z trójkątów ADC i BDC można zbudować trójkąt równoboczny AEC o wysokości (prawy rysunek). Jeżeli przez oznaczymy długość boku trójkąta AEC , to ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego mamy