Zadanie nr 3676056
W trójkącie równoramiennym kąt przy podstawie ma miarę . Oblicz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt do długości promienia okręgu opisanego na nim.
Rozwiązanie
Przyjmijmy oznaczenia z rysunku, tzn. niech .
Sposób I
Promień okręgu opisanego możemy łatwo wyliczyć z twierdzenia sinusów.
Promień okręgu wpisanego wyliczymy ze wzoru na pole
Ponadto
Zatem szukany iloraz
Sposób II
Tym razem promień okręgu wpisanego obliczmy z trójkąta , gdzie jest środkiem okręgu wpisanego.
Żeby we wzorze na promień okręgu opisanego mieć wykorzystamy twierdzenie sinusów dla kąta .
Szukany iloraz
Odpowiedź: