/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoramienny

Zadanie nr 6181339

W trójkącie równoramiennym ABC , gdzie |AB | = |BC | , podstawa ma długość 12. Punkt P jest punktem przecięcia wysokości wychodzących z wierzchołków A i B . Oblicz pole tego trójkąta, jeśli |CP | = 9 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

PIC

Ponieważ wysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie, odcinek CP jest fragmentem wysokości opuszczonej z wierzchołka C . Stosując twierdzenie Pitagorasa w trójkącie CEP mamy

∘ ----------- √ -------- √ --- √ -- P E = CP 2 − CE 2 = 81 − 36 = 4 5 = 3 5.

Teraz kluczowa obserwacja: trójkąty AP E i BCE są podobne. Rzeczywiście, jeżeli oznaczymy ∡C = α to w trójkącie prostokątnym ADC mamy

∘ ∘ ∡CAD = 90 − ∡C = 9 0 − α.

Zatem z trójkąta prostokątnego AP E

∘ ∘ ∘ ∡EPA = 90 − ∡EAP = 90 − (9 0 − α) = α.

W takim razie trójkąty AP E i BCE są oba prostokątne i oba mają kąt o mierze α , są więc podobne.

Dzięki temu podobieństwu możemy obliczyć długość wysokości BE .

BE AE ----= ---- CE EP BE- = -6√--- 6 3 5 √ -- BE = -√6--⋅6 = 1√-2-= 12--5. 3 5 5 5

Pozostało obliczyć pole trójkąta ABC .

√ -- √ -- 1- 1- 1-2--5 7-2--5 S = 2 ⋅AC ⋅BE = 2 ⋅12 ⋅ 5 = 5 .

 
Odpowiedź: √ - 72--5 5

Wersja PDF