Zadanie nr 6379809

W ostrokątnym trójkącie równoramiennym ramię ma długość 61, a wysokość poprowadzona do ramienia ma długość 11. Oblicz długość podstawy tego trójkąta.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od szkicowego rysunku.

Sposób I

Oznaczmy szukaną długość podstawy przez (, a nie żeby nie mieć ułamków) i zauważmy, że możemy na dwa sposoby obliczyć pole trójkąta ABC .

2P = AB ⋅CE = AC ⋅DB 2ah = 61 ⋅11.

Potrzebujemy jeszcze drugie równanie – dostajemy je z trójkąta prostokątnego AEC .

2 2 2 a + h = 61 (a+ h)2 − 2ah = 612 (a+ h)2 − 6 1⋅1 1 = 612 2 2 (a+ h) =√ 61--+ 61 ⋅11 = 61 (61+ 11) = 61 ⋅72 = 1 22⋅3 6. a+ h = 6 122 .

Mamy zatem układ równań

{ 61⋅11 ah = 2 √ ---- a + h = 6 122

Układ ten możemy rozwiązać standardowo, lub zauważyć, że na mocy wzorów Viète’a rozwiązania tego układu są pierwiastkami równania

√ ---- 61 ⋅11 x2 − 6 122x + -------= 0 2 Δ = 122 ⋅36 − 122 ⋅11 = 1 22⋅2 5 6√ 122-− 5√ 122- √ 12-2 6√ 122-+ 5√ 12-2 1 1√ 122- x1 = ----------------= ------, x2 = -----------------= --------. 2 2 2 2

Pozostało ustalić, która z tych liczb to , a która to . Gdyby było a > h , to ∘ ∡ACE > 45 i kąt przy wierzchołku byłby rozwarty. Zatem --- √122- a = 2 i podstawa ma długość √ ---- 2a = 122 .

Sposób II

Tym razem będziemy odrobinę bardziej pomysłowi i policzymy długość odcinka wprost. Jak to zrobić? – z trójkąta prostokątnego ABD . Aby móc to jednak zrobić musimy najpierw wyliczyć długość odcinka AD = 61− CD . Patrzymy na trójkąt prostokątny BCD i liczymy