Zadanie nr 7063305

Prosta jest osią symetrii danego rysunku, więc przecina odcinek w jego środku – oznaczmy ten punkt przez .

Jeżeli oznaczymy , to oraz

(odcinki stycznych do okręgu). Jeżeli dodatkowo oznaczymy , to

Wiemy też, że trójkąty i są podobne w skali . Zatem .

W tym miejscu kończą się łatwe obserwacje – jeżeli mamy pójść dalej musimy jakoś wykorzystać fakt, że środkiem narysowanego okręgu jest środek boku – na razie tej informacji nie wykorzystaliśmy. W tym celu dorysowujemy promień , który jest oczywiście prostopadły do stycznej w punkcie , czyli do prostej . Jeżeli to zrobimy i chwilę popatrzymy na otrzymaną konfigurację, to można zauważyć, że otrzymaliśmy dwa podobne trójkąty prostokątne – i . To podobieństwo pozwala powiązać z .

Traktujemy otrzymaną równość jak równanie kwadratowe zmiennej z parametrem i rozwiązujemy to równanie jak zwykłe równanie kwadratowe.

Ujemne rozwiązanie oczywiście odrzucamy i mamy

To oczywiście oznacza, że trójkąt jet równoboczny.

Dzielimy otrzymaną równość przez .

Podstawiamy teraz i rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

Ujemne rozwiązanie oczywiście odrzucamy i mamy

To oczywiście oznacza, że trójkąt jest równoboczny.