/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoramienny

Zadanie nr 7588109

Dany jest trójkąt równoramienny ABC , w którym |AC | = |BC | = b i |AB | = a . Punkty M i N są rzutami prostopadłymi środka podstawy AB trójkąta na ramiona BC i AC . Wyraź pole czworokąta ABMN za pomocą a i b .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

PIC

Pole trapezu ABMN możemy obliczyć jako różnicę pól trójkątów ABC i NMC . Co więcej, trójkąt NMC jest podobny do trójkąta ABC i dość łatwo jest obliczyć skalę k tego podobieństwa. Z podobieństwa trójkątów prostokątnych ADC i DNC mamy

2 2 2 a2 2 2 CD-- = CA-- ⇒ CN = CD--- = h--= b--−--4 = 4b--−-a-. CN CD CA b b 4b

W takim razie

CN 4b2−a-2 4b2 − a2 k = ---- = --4b--= -----2--. CA b 4b

Pole zmienia się jak kwadrat skali podobieństwa, więc

( 2 2) 2 4 2 2 4 PNMC = k2PABC = 4b--−-a-- PABC = 16b--−-8a-b--+-a-PABC . 4b2 1 6b4

Pozostało obliczyć pole trapezu ABMN .

1 6b4 − 8a2b2 + a4 PABMN = PABC − PNMC = PABC − ------------------PABC = 16b4 ∘ -------- ( 1 6b4 − 8a2b2 + a4) 1 8a2b2 − a4 1 a2 = 1 − ----------4------- ⋅ -ah = ------4---⋅ -a b2 − ---= 16b 2 16b 2 4 8a3b2-−-a5- ∘ --2----2- = 64b4 ⋅ 4b − a .

 
Odpowiedź: 3 2 5 √ --------- 8a6b4b−4a-⋅ 4b 2 − a 2

Wersja PDF