Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 1586493

W trójkącie ABC środkowa AD jest prostopadła do boku AC oraz |AB | = 2|AC | . Oblicz miarę kąta BAC .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.


PIC


Oznaczmy ∡BAD = α .

Sposób I

Niech ∡ADC = β – wtedy  ∘ ∡BDA = 180 − β . Piszemy teraz twierdzenia sinusów w trójkątach ADC i ADB .

AC DC -----= ------- ⇒ AC = DC sin β sin β sin9 0∘ AB BD sin-(180∘-−-β)-= sinα-.

Ponieważ  ∘ sin (180 − β) = sin β , drugą równość możemy zapisać w postaci

 BD sin α = ----sin β. AB

Mamy zatem (korzystamy z pierwszej równości i założenia AB = 2AC ).

 BD DC AC 1 sin α = ----sin β = ---- sin β = ----= -. AB AB AB 2

W takim razie α = 30∘ i ∡BAC = 120 ∘ .

Sposób II

Zauważmy, że trójkąty BDA i CDA mają równe pola (bo mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka A i podstawy tej samej długości). Na mocy wzoru na pole trójkąta z sinusem mamy

1-AB ⋅AD ⋅sinα = 1AD ⋅AC / ⋅ -2-- 2 2 AD AB sinα = AC .

Korzystamy teraz z równości AB = 2AC .

 1 1 AB sinα = AC = 2AB ⇒ sin α = 2.

Zauważmy jeszcze, że kąt BAD musi być ostry, bo łącznie z kątem  ∘ ∡DAC = 9 0 tworzy kąt trójkąta. Mamy zatem  ∘ α = 30 oraz

 ∘ ∘ ∘ ∘ ∡BAC = α+ 90 = 30 + 9 0 = 120 .

Sposób III

Niech  ′ A będzie odbiciem punktu A względem punktu D . Otrzymujemy w ten sposób równoległobok ABA ′C , w którym D jest punktem przecięcia się przekątnych. Zauważmy, że trójkąt AA ′C jest prostokątny oraz

 ′ AC--- AC-- 1- sin α = sin AA C = A ′C = AB = 2.

Zatem α = 3 0∘ i ∡BAC = 1 20∘ .

Sposób IV

Tym razem dorysujmy wysokość BE opuszczoną z wierzchołka B na bok AC .


PIC

Na mocy twierdzenia Talesa mamy

EA-- BD-- 1- AC = DC = 1 ⇒ EA = AC = 2AB .

To oznacza, że trójkąt prostokątny ABE jest połówką trójkąta równobocznego. W szczególności ∡EAB = 60 ∘ i

 ∘ ∘ ∘ ∘ ∡BAC = 180 − ∡EAB = 180 − 60 = 120 .

 
Odpowiedź:  ∘ 120

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!