Zadanie nr 2005189

Środkowa trójkąta ABC jest równa bokowi . Wyznacz kąty trójkąta ABC wiedząc, że |AB | = 4 i √ -- |BC | = 2 3 .

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

Sposób I

Jeżeli chwilę się zastanowimy nad zadaniem, to łatwo widać, że trójkąt ACD jest równoramienny, czyli ∡CDA = ∡BAC = α . Trochę trudniej jest wykorzystać informację o tym, że prosta jest środkową. Jeden ze sposobów, to napisanie twierdzeń cosinusów w trójkątach ADC i CDB .

{ AC 2 = AD 2 + DC 2 − 2AD ⋅DC cos∡ADC BC 2 = BD 2 + DC 2 − 2BD ⋅DC cos∡BDC . { b2 = 4 + b2 − 4b cosα 2 ∘ 2 . 12 = 4 + b − 4b cos(180 − α ) = 4+ b + 4bco sα.

Dodajemy te równania stronami (żeby skrócić co sα ) i mamy

2 2 12+ b = 8 + 2b b2 = 4 ⇒ b = 2.

Tak więc trójkąt ADC jest równoboczny i wszystkie jego kąty są równe ∘ 60 . Trójkąt BDC jest równoramienny i ∘ ∡BDC = 120 , czyli ∘ ∡B = 30 . Zatem

∡C = 18 0∘ − ∡A − ∡B = 90 ∘.

Sposób II

Prostsze rozwiązanie otrzymamy jeżeli dorysujemy wysokość . Ponieważ trójkąt ADC jest równoramienny, wysokość ta dzieli odcinek na połowę. W takim razie EB = 3 i mamy