Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2005189

Środkowa CD trójkąta ABC jest równa bokowi AC . Wyznacz kąty trójkąta ABC wiedząc, że |AB | = 4 i  √ -- |BC | = 2 3 .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.


PIC


Sposób I

Jeżeli chwilę się zastanowimy nad zadaniem, to łatwo widać, że trójkąt ACD jest równoramienny, czyli ∡CDA = ∡BAC = α . Trochę trudniej jest wykorzystać informację o tym, że prosta CD jest środkową. Jeden ze sposobów, to napisanie twierdzeń cosinusów w trójkątach ADC i CDB .

{ AC 2 = AD 2 + DC 2 − 2AD ⋅DC cos∡ADC BC 2 = BD 2 + DC 2 − 2BD ⋅DC cos∡BDC . { b2 = 4 + b2 − 4b cosα 2 ∘ 2 . 12 = 4 + b − 4b cos(180 − α ) = 4+ b + 4bco sα.

Dodajemy te równania stronami (żeby skrócić co sα ) i mamy

 2 2 12+ b = 8 + 2b b2 = 4 ⇒ b = 2.

Tak więc trójkąt ADC jest równoboczny i wszystkie jego kąty są równe  ∘ 60 . Trójkąt BDC jest równoramienny i  ∘ ∡BDC = 120 , czyli  ∘ ∡B = 30 . Zatem

∡C = 18 0∘ − ∡A − ∡B = 90 ∘.

Sposób II

Prostsze rozwiązanie otrzymamy jeżeli dorysujemy wysokość CE . Ponieważ trójkąt ADC jest równoramienny, wysokość ta dzieli odcinek AD na połowę. W takim razie EB = 3 i mamy

 √ -- cos∡B = BE--= -3√---= --3- ⇒ ∡B = 3 0∘. BC 2 3 2

Liczymy dalej.

CE--= sin ∡B = 1- ⇒ CE = √ 3- BC 2 CE √ -- ∘ tg ∡A = ----= 3 ⇒ ∡A = 60 A∘E ∘ ∡C = 180 − ∡B − ∡A = 90 .

 
Odpowiedź: ∡A = 60∘,∡B = 3 0∘,∡C = 90 ∘

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!