Zadanie nr 2183366
Środkowa trójkąta
ma długość równą połowie długości boku
. Miara kąta między tą środkową a wysokością
jest równa
. Wyznacz miary kątów trójkąta
.
Rozwiązanie
Szkicujemy opisaną sytuację.
Sposób I
W trójkącie prostokątnym mamy

Zauważmy teraz, że

co oznacza, że trójkąt jest równoramienny. W takim razie

Zauważmy teraz, że trójkąt też jest równoramienny, więc możemy oznaczyć
. Korzystamy teraz z sumy kątów w trójkącie
.

Stąd

Sposób II
Zauważmy, że równość oznacza, że punkty
leżą na okręgu o środku
i średnicy
. To oznacza, że trójkąt
jest prostokątny i
. Podobnie jak w poprzednim sposobie zauważamy, że

Teraz korzystamy z twierdzenia o kątach wpisanym i środkowym opartych na tym samym łuku.

Stąd

Odpowiedź: