/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Kąty

Zadanie nr 3906670

Długości boków trójkąta są w stosunku 2 : 3 : 4. Oblicz wartość wyrażenia

1 1 ---- + ----, tg α tg β

gdzie α oznacza największy, a β najmniejszy kąt tego trójkąta.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli oznaczymy długości boków trójkąta przez 2a,3a i 4a , to największy kąt α będzie naprzeciwko boku długości 4a , a najmniejszy β naprzeciwko boku długości 2a (w trójkącie naprzeciwko dłuższego boku leży większy kąt).

PIC

Cosinus kąta α obliczymy z twierdzenia cosinusów.

2 2 2 16a = 4a + 9a − 2 ⋅2a ⋅3a ⋅cosα 16a2 = 13a 2 − 12a 2cos α 12a2co sα = − 3a 2 ⇒ cos α = − 1-. 4

Stąd

∘ ------- √ --- ∘ -------2-- 1-- --1-5 sinα = 1 − cos α = 1 − 16 = 4 √15 sinα- --4-- √ --- tgα = cos α = − 1 = − 1 5. 4

Tangens kąta β obliczymy na dwa sposoby.

Sposób I

Możemy powtórzyć analogiczny rachunek jak w przypadku kąta α – raz jeszcze stosujemy twierdzenie cosinusów.

2 2 2 4a = 16a + 9a − 2 ⋅4a ⋅3a ⋅cos β 4a2 = 25a 2 − 2 4a2cos β 24a2 cosβ = 21a2 ⇒ cosβ = 21-= 7. 24 8

Stąd

∘ ---------- ∘ ------- √ --- sin β = 1 − cos2 β = 1 − 49-= --15- √-- 64 8 -15- √ --- tgβ = sinβ- = -8--= --15. cos β 78 7

Zatem

√ --- √ --- 1 1 1 7 6 6 1 5 2 15 ----+ ---- = − √----+ √---- = √----= ------ = ------. tg α tg β 15 1 5 15 15 5

Sposób II

Jeżeli obliczyliśmy już sin α , to sin β mamy w zasadzie za darmo z twierdzenia sinusów

√ --- √ --- -4a-- = --2a- ⇒ sin β = 1-sin α = 1-⋅--15-= --15. sinα sin β 2 2 4 8

Resztę rachunków wykonujemy tak samo jak w poprzednim sposobie.  
Odpowiedź: √ -- 2-515

Wersja PDF