/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Kąty

Zadanie nr 4869024

W trójkącie ABC , w którym √ -- |AC | = 5,|BC | = 4 2 i |AB | = 7 na boku AB wybrano taki punkt D , że |AD | = 2 . Oblicz sinus kąta ADC .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Sinus kąta ADC możemy wyliczyć korzystając z twierdzenia sinusów lub cosinusów w trójkącie ADC , ale zanim to zrobimy musimy obliczyć długość odcinka CD . Możemy obliczyć tę długość pisząc twierdzenie cosinusów w trójkącie ADC – do tego potrzebujemy co sα = co s∡CAD .

Liczymy. Piszemy twierdzenie cosinusów w trójkącie ABC .

2 2 2 BC = AB + AC − 2AB ⋅AC cos α 32 = 49 + 2 5− 2 ⋅7 ⋅5 cosα 70 cosα = 42 42- 3- co sα = 70 = 5 .

Teraz stosujemy twierdzenie cosinusów w trójkącie ADC .

CD 2 = AD 2 + AC 2 − 2AD ⋅AC cosα 3 CD 2 = 4+ 25 − 2⋅ 2⋅5 ⋅-- 5 CD 2 = 29 − 12 = 1 7 √ --- CD = 17.

Interesujący nas sinβ = sin∡ADC obliczymy na dwa sposoby.

Sposób I

Chcemy skorzystać z twierdzenia sinusów w trójkącie ADC . Najpierw obliczmy jednak sinα .

∘ ------- ∘ --------2- 9-- 4- sin α = 1 − co s α = 1− 25 = 5.

Teraz piszemy twierdzenie sinusów w trójkącie ADC .

-CD-- -AC-- sin α = sin β √ --- --17-= --5-- 4 sin β 5 √ --- -5--- 4- -4--- 4--17- sin β = √ 17-⋅5 = √ 17-= 17 .

Sposób II

Tym razem skorzystamy z twierdzenia cosinusów. Piszemy twierdzenie cosinusów w trójkącie ADC .

AC 2 = AD 2 + CD 2 − 2AD ⋅CD cosβ √ --- 25√ =--4+ 17− 2⋅2 ⋅ 17 cosβ 4 17 cos β = − 4 cosβ = √−1-- 17

Pozostało skorzystać z jedynki trygonometrycznej.

∘ ------- ∘ --- √ --- ∘ ---------- 1 16 4 4 17 sinβ = 1 − cos2 β = 1 − ---= ---= √----= -----. 17 17 17 1 7

 
Odpowiedź: 4√ 17 sin ∡ADC = --17-

Wersja PDF