/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Kąty

Zadanie nr 9406414

Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie rozwartokątnym ABC . Kąt CAB jest dwa razy większy od kąta BAS , a kąt CBA jest o 1 0∘ większy od kąta BAS . Oblicz kąty trójkąta ABC .

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy α = ∡BAS .

PIC

Trójkąty ABS ,BSC i ASC są równoramienne, więc z podanych informacji mamy

∡ABS = ∡BAS = α ∡CAB = 2α ∡ACS = ∡CAS = 3α .

Suma kątów trójkąta ASC jest równa 180∘ , więc

∡ASC = 180∘ − 6α.

Teraz korzystamy z własności kątów wpisanych i środkowych opisanych na tym samym łuku.

∡ABC = 1∡ASC = 90∘ − 3α. 2

Trójkąt CSB jest równoramienny, więc

∡SCB = ∡SBC = 90∘ − 2α.

Z drugiej strony wiemy, że ∡CBA = α + 10 ∘ . Mamy zatem

90 ∘ − 3 α = α + 10∘ ∘ ∘ 80 = 4α ⇒ α = 20 .

W takim razie kąty trójkąta ABC mają miary

∘ ∡A = 2α = 40 ∡B = 90 ∘ − 3 α = 30∘ ∘ ∘ ∡C = 9 0 + α = 110 .

 
Odpowiedź: 40∘,3 0∘,110∘

Wersja PDF