/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Wektory

Zadanie nr 6091486

W trójkącie ABC dane są → |AB | = 7 , → → |AB + AC | = 13 oraz → → AB ∘ AC = 20 . Oblicz długość boku AC , oraz miarę kąta ∡CAB .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku i oznaczmy → → AC = c oraz → → AB = b .

PIC

Mamy zatem → → b ∘ c = 2 0 oraz

→ → → b ∘ b = |b |2 = 49.

Ponadto

→ → 2 (b + c) = 169 →2 → → → 2 b + 2 b ∘ c + c = 169 → 2 49+ 40+ c = 169 →2 c = 80 → √ -- |c| = 4 5.

Cosinus kąta ∡CAB wyliczymy ze wzoru

→ → → → -b-∘-c- cos∡ (b ,c ) = → → . |b ||c |

Mamy zatem

√ -- cos∡CAB = ---20√---= --5-. 7 ⋅4 5 7

 
Odpowiedź: √ -- |AC | = 4 5 , √- cos ∡CAB = -5- 7

Wersja PDF