/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Równanie prostej/Różne

Zadanie nr 5951929

Początkowe ramię kąta α pokrywa się z dodatnią półosią osi odciętych, a na końcowym ramieniu tego kąta leży punkt P (− 5;12) . Oblicz wartość wyrażenia: tg α + c1osα .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Zauważmy jeszcze, że

∘ ------------- √ ---- OP = (− 5)2 + 122 = 169 = 13

Sposób I

Korzystamy z definicji funkcji trygonometrycznych kąta skierowanego.

xP − 5 5 cosα = ----= ----= − --- OP 1 3 13 tgα = yP-= -12-= − 12. xP − 5 5

Stąd

tgα + --1--= − 12-− 13-= − 25-= − 5. cosα 5 5 5

Sposób II

Zauważmy, że

∘ OA 5 co s(1 80 − α) = -OP- = 13.

Stąd

∘ -5- cosα = − cos(18 0 − α) = − 13 .

Podobnie

tg α = − tg (180∘ − α) = − AP-- = − 1-2. OA 5

Stąd

tgα + --1--= − 12-− 13-= − 25-= − 5. cosα 5 5 5

Sposób III

Tym razem popatrzmy na trójkąt POB .

sinβ = BP--= -5- OP 13 OB 12 ctgβ = BP--= -5 .

Stąd

∘ 5-- cosα = cos(90 + β) = − sin β = − 13 12 tgα = tg (90∘ + β) = − ctg β = − --- 5

i

1 12 13 25 tgα + -----= − ---− ---= − ---= − 5. cosα 5 5 5

Sposób IV

Napiszmy równanie prostej OP . Jest to prosta postaci y = ax . Współczynnik a obliczamy podstawiając współrzędne punktu P .

12 12 = − 5a ⇒ a = − --. 5

Otrzymany współczynnik kierunkowy to dokładnie tg α , więc

sin α 1 2 2 cos-α = − -5- / () 2 sin-α- = 1-44 cos2 α 25 25(1 − cos2 α) = 144 cos2α 169 cos2α = 25 ⇒ co sα = ± 5-- 13

Ponieważ α jest kątem rozwartym, mamy stąd cosα = − 513 oraz

tgα + --1--= − 12-− 13-= − 25-= − 5. cosα 5 5 5

 
Odpowiedź: − 5

Wersja PDF