Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7838063

Dany jest ciąg xn = − 1 − n dla n ≥ 1 . Ciąg (yn) ma tę własność, że dla każdego n ≥ 1 punkty o współrzędnych (xn,0),(− 1,1),(0,yn) leżą na jednej prostej. Wyznacz wzór ogólny ciągu (yn ) .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Największa trudność w tym zadaniu, to makabryczne sformułowanie. Pełno dziwnych znaczków i trudno się połapać o co chodzi. No więc trochę to uprośćmy. Po pierwsze, oznaczenie ciągu xn jest zupełnie niepotrzebne, można ciąg xn wywalić i warunek z zadania zastąpić warunkiem: punkty A = (− 1 − n,0 ),B = (− 1,1),C = (0,yn) leżą na jednej prostej. Ok, nie ma już ciągu xn .

Kolejna myśl, to jak to jest, że fakt, że punkt (0,yn) leży na prostej wyznaczonej przez (− 1 − n,0),(− 1,1) pozwala wyliczyć yn ? - przecież na tej prostej jest pełno punktów. Żeby to zrozumieć, trzeba zrobić rysunek.


PIC


Na tym schematycznym rysunku zaznaczone są przykładowe punkty i prosta. Punkt B = (− 1,1) stoi w miejscu, punkt A (na osi Ox ) zmienia się (w zależności od n ), a punkt C (na osi y ) to ten którego szukamy.

Po tym wstępie wszystko powinno być jasne.

Sposób I

Piszemy wektory  → AB i  → BC i sprawdzamy kiedy są równoległe.

→ AB = [n,1] → BC = [1,yn − 1].

Wektory [x1,y1] i [x2,y2] są równoległe wtedy i tylko wtedy gdy x1y 2 − x 2y1 = 0 (równoważnie, współrzędne są proporcjonalne). Otrzymujemy zatem równanie

n(yn − 1) − 1 = 0 .

Stąd  -1 y = n + 1 .

Sposób II

Załóżmy, że prosta na której leżą punkty A i B ma równanie y = ax + b . Otrzymujemy stąd układ równań

{ 0 = (− 1− n)a+ b 1 = −a + b.

Chcemy z tego układu wyliczyć b = yn . W tym celu mnożymy drugie przez (− 1 − n) i dodajemy do pierwszego (żeby skrócić a ):

 − 1 − n = b+ b (−1 − n ) − 1 − n = −bn 1+--n- b = n .

 
Odpowiedź: y = 1+ 1 n

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!