Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9210511

Dany jest punkt M = (2 ,8 ) . Wyznacz równanie takiej prostej k , do której należy punkt M , że na ujemnej półosi Ox i dodatniej półosi Oy układu xOy prosta ta wyznacza odcinki OA i OB , których suma długości jest równa 6. Oblicz obwód trójkąta AOB .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku.


PIC


Sposób I

Jeżeli y = ax + b jest szukaną prostą, to ponieważ prosta ta przechodzi przez M , mamy

8 = 2a+ b ⇒ b = 8− 2a.

Aby wyznaczyć a liczymy w jakich punktach prosta ta, czyli y = ax + 8− 2a przecina osie Ox i Oy . Oś Oy przecina w punkcie (0,8− 2a) . Musimy mieć zatem

8− 2a > 0 ⇒ a < 4 .

Aby znaleźć punkt przcięcia z osią Ox rozwiązujemy równanie

 8- ax + 8 − 2a = 0 ⇒ x = 2− a.

Musimy zatem mieć

 8 2 − --< 0 a 2a−--8-< 0 a a−--4- a < 0

Ponieważ już wcześniej ustaliliśmy, że a < 4 , nierówność ta oznacza, że a > 0 , czyli

0 < a < 4 .

Zapiszmy teraz warunek OA + OB = 6 .

 || || |8− 2a|+ |2 − 8-|= 6 | a | 8 8 − 2a − 2 + --= 6 a 8-= 2a / ⋅ a- a 2 4 = a2 ⇒ a = 2.

Mamy zatem k : y = 2x+ 4 , A = (− 2,0) i B = (0,4) . Ponieważ trójkąt AOB jest prostokątny, to

 ∘ ---2------2- √ ------- √ -- AB = OA + OB = 4+ 16 = 2 5.

Tak więc obwód trójkąta jest równy

 √ -- √ -- 2+ 4+ 2 5 = 6 + 2 5 .

Sposób II

Jeżeli y = ax + b jest szukaną prostą, to przecina ona oś OY w punkcie b i oś Ox w punkcie − b a . Musimy zatem założyć, że b > 0 i a > 0 . Warunek OA + OB = 6 prowadzi do równania

 b b+ a-= 6 ab+ b = 6a a(b− 6) = −b a = -−b---. b − 6

Pozostało sprawdzić, kiedy punkt (2,8) jest na prostej  −b y = b−6x + b .

 −b 8 = ------⋅2 + b b − 6 8(b− 6) = − 2b + b(b − 6) 2 8b− 48 = − 2b + b − 6b b2 − 16b+ 48 = 0.

Liczymy dalej,  2 Δ = 256 − 192 = 64 = 8 , b = 4 lub b = 12 . Druga z tych liczb daje jednak a = − 2 < 0 , co jest sprzeczne z naszymi założeniami. Zatem b = 4 i a = 2 . Obwód trójkąta AOB wyliczamy jak w sposobie I.

Sposób III

Poprowadźmy pionową prostą przez punkt M (prawy rysunek). Przy oznaczeniach z rysunku, trójkąty AOB i AA ′M są podobne, więc

 ′ AO-- = AA--- BO MA ′ x x + 2 --= ------ y 8 8x = y(x + 2) 8x − xy − 2y = 0.

Wiemy ponadto, że x + y = 6 . Podstawmy y = 6 − x w powyższym równaniu.

8x − x(6 − x )− 2 (6− x ) = 0 x2 + 4x − 12 Δ = 16+ 48 = 64 −-4−-8- −-4+--8 x = 2 = − 6 ∨ x = 2 = 2.

Ujemne rozwiązanie odrzucamy (jest sprzeczne z naszym rysunkiem) i mamy x = 2 . W takim razie y = 6 − 2 = 4 i szukana prosta ma równanie

y = 4-⋅x + 4 = 2x + 4. 2

Mamy ponadto A = (− 2,0) , B = (0,4) . Obwód liczymy jak w poprzednich sposobach.  
Odpowiedź: k : y = 2x + 4 , Obwód: 6 + 2√ 5-

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!