Zadanie nr 9210511
Dany jest punkt . Wyznacz równanie takiej prostej
, do której należy punkt
, że na ujemnej półosi
i dodatniej półosi
układu
prosta ta wyznacza odcinki
i
, których suma długości jest równa 6. Oblicz obwód trójkąta
.
Rozwiązanie
Zacznijmy od rysunku.
Sposób I
Jeżeli jest szukaną prostą, to ponieważ prosta ta przechodzi przez
, mamy

Aby wyznaczyć liczymy w jakich punktach prosta ta, czyli
przecina osie
i
. Oś
przecina w punkcie
. Musimy mieć zatem

Aby znaleźć punkt przcięcia z osią rozwiązujemy równanie

Musimy zatem mieć

Ponieważ już wcześniej ustaliliśmy, że , nierówność ta oznacza, że
, czyli

Zapiszmy teraz warunek .

Mamy zatem ,
i
. Ponieważ trójkąt
jest prostokątny, to

Tak więc obwód trójkąta jest równy

Sposób II
Jeżeli jest szukaną prostą, to przecina ona oś
w punkcie
i oś
w punkcie
. Musimy zatem założyć, że
i
. Warunek
prowadzi do równania

Pozostało sprawdzić, kiedy punkt jest na prostej
.

Liczymy dalej, ,
lub
. Druga z tych liczb daje jednak
, co jest sprzeczne z naszymi założeniami. Zatem
i
. Obwód trójkąta
wyliczamy jak w sposobie I.
Sposób III
Poprowadźmy pionową prostą przez punkt (prawy rysunek). Przy oznaczeniach z rysunku, trójkąty
i
są podobne, więc

Wiemy ponadto, że . Podstawmy
w powyższym równaniu.

Ujemne rozwiązanie odrzucamy (jest sprzeczne z naszym rysunkiem) i mamy . W takim razie
i szukana prosta ma równanie

Mamy ponadto ,
. Obwód liczymy jak w poprzednich sposobach.
Odpowiedź: , Obwód: