Zadanie nr 8483200
Niech będzie liczbą całkowitą o cyfrach
. Pokaż, że
![p --s-----= 0,(p 1p2...ps) 10 − 1](https://img.zadania.info/zad/8483200/HzadT2x.gif)
(okresowe rozwinięcie dziesiętne).
Rozwiązanie
Jeżeli oznaczymy
![x = 0,(p 1p 2...ps)](https://img.zadania.info/zad/8483200/HzadR0x.gif)
to liczba ta ma własność
![s 10 x − x = p1p2...ps ,(p1p2 ...ps)− 0 ,(p1p2...ps ) = p1p2 ...ps = p.](https://img.zadania.info/zad/8483200/HzadR1x.gif)
Przekształcenie to naśladuje standardowy sposób zamiany ułamków okresowych na ułamki zwykłe. Teraz wystarczy przekształcić otrzymaną równość
![s 10 x− x = p x(10s − 1) = p p x = ---s---- 10 − 1](https://img.zadania.info/zad/8483200/HzadR2x.gif)
co kończy dowód.