/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Sześcian

Zadanie nr 1507896

Dany jest sześcian ABCDEF GH o krawędzi długości 6. Punkt S jest punktem przecięcia przekątnych AH i DE ściany bocznej ADHE (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz wysokość trójkąta SBH poprowadzoną z punktu S na bok BH tego trójkąta.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Niech O będzie środkiem sześcianu, a P rzutem punktu S na przekątną BH . Zadanie sprowadza się do obliczenia długości odcinka h = SP .

ZINFO-FIGURE

Sposób I

Trójkąty HP S i HAB są oba prostokątne oraz mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku H . Są więc podobne. Korzystamy z tego podobieństwa i mamy

-SP- BA-- SH = BH h 6 ----√---= -√--- 12 ⋅6 2 6 3 √ -- √ -- -√h--= √1-- ⇒ h = 3√--2 = 6. 3 2 3 3

Sposób II

Obliczamy pole trójkąta HSO na dwa sposoby.

1-HO ⋅h = P = 1SO ⋅SH / ⋅2 2 HSO 2 1 √ -- 1 1 √ -- 2-⋅6 3 ⋅h = 2-⋅6⋅ 2-⋅6 2 √ -- √ -- -- h = 9√-2-= 3√--2-= √ 6 3 3 3

Sposób III

Obliczamy pole trójkąta SBH na dwa sposoby.

1- 1- 2 HB ⋅h = PSBH = 2AB ⋅SH /⋅ 2 √ -- 1 √ -- 6 3 ⋅h = 6⋅--⋅6 2 √ -- 2 √ -- 18 2 3 2 √ -- h = --√---= √----= 6 6 3 3

 
Odpowiedź: √ -- 6

Wersja PDF