/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Sześcian

Zadanie nr 2324875

Punkty K i M są środkami krawędzi BC i AE sześcianu ABCDEF GH o krawędzi długości 1. Punkt L jest środkiem ściany EF GH (zobacz rysunek). Oblicz obwód trójkąta KLM .

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Niech S będzie środkiem krawędzi F G i dorysujmy odcinki AK ,KS ,SL i LE .

PIC

Otrzymaliśmy w ten sposób trzy trójkąty prostokątne AKM ,KSL i LEM . W każdym z nich liczymy z twierdzenia Pitagorasa długość przeciwprostokątnej.

∘ ---------------- ∘ ---------- √ -- ∘ ------------- 1 1 1 6 MK = AM 2 + AK 2 = -+ AB 2 + BK 2 = --+ 1+ --= ---- ∘ ---4-- √ -- 4 4 2 ∘ ---2-----2- 1- --5- KL = KS + SL = 1+ 4 = 2 ∘ ---------------- ┌│ (----)------- ∘ ------------ ( EG )2 │ √ 2- 2 1 √ 3- LM = LE 2 + EM 2 = ---- + EM 2 = ∘ ---- + --= ---. 2 2 4 2

Obwód trójkąta KLM jest więc równy

√ -- √ -- √ -- √ -- √ -- √ -- MK + KL + LM = --6-+ --5-+ --3-= --3+----5+----6. 2 2 2 2

 
Odpowiedź: √ - √ - √ - --3+-25+--6

Wersja PDF