/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Sześcian

Zadanie nr 3998126

Dany jest sześcian ABCDEF GH o krawędzi długości 2. Punkt S jest środkiem krawędzi GC (zobacz rysunek). Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie EDS .

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zacznijmy od obliczenia długości boków trójkąta EDS .

√ -- √ -- DE = A∘D---2-=--2--2 ------ √ -- DS = DC 2 + CS 2 = √ 4 + 1 = 5 ∘ ------------ ∘ ------------ ES = EG 2 + GS 2 = (2 √ 2)2 + 1 = √ 9-= 3.

Promień okręgu opisanego możemy obliczyć z twierdzenia sinusów, ale do tego potrzebny nam jest sinus jednego z kątów trójkąta EDS (wszystko jedno którego). Obliczmy na przykład sinus kąta α = ∡DES .

PIC

Cosinus tego kąta możemy obliczyć z twierdzenia cosinusów.

2 2 2 DS = DE + ES − 2DE ⋅ES cos α 5 = 8 + 9 − 2⋅ 2√ 2⋅ 3cos α √ -- --12-- --2- cos α = √ --= 2 . 12 2

Zatem ∘ α = 4 5 i

DS √ 5- 2 √ 5- √ --- √ 10- 2R = ----- = √---= -√--- = 10 ⇒ R = ----. sin α -22 2 2

 
Odpowiedź: √ -- --10 2

Wersja PDF