Zadanie nr 4026965
Dany jest sześcian o krawędzi długości 1. Punkty
i
są środkami odpowiednio krawędzi
i
, a punkt
jest środkiem odcinka
. Punkt
jest takim punktem krawędzi
, że
(zobacz rysunek).
Oblicz odległość punktu od środka odcinka
.
Rozwiązanie
Przyjmijmy oznaczenia z poniższego rysunku, tzn. niech będzie środkiem kwadratu
,
środkiem odcinka
i
.
Trójkąt jest prostokątny, więc punkt
jest środkiem opisanego na nim okręgu. W szczególności
. Wystarczy więc obliczyć długość przeciwprostokątnej
trójkąta
. Zauważmy jeszcze, że trójkąt
jest dwa razy mniejszy od trójkąta
, więc
![√ -- AS = 1-AM = 1-AC = --2- 2 4 4 √ -- 3 3 2 CS = AC − AS = -AS = ----. 4 4](https://img.zadania.info/zad/4026965/HzadR13x.png)
Sposób I
Zauważmy, że
![∡CST = 180∘ − (∡ASE + 90 ∘) = 90∘ − ∡ASE = ∡AES .](https://img.zadania.info/zad/4026965/HzadR14x.png)
To oznacza, że trójkąty prostokątne i
są podobne. Zatem
![CT--= AS-- CS AE x 1AC 3 3 3 3----= 4---- ⇒ x = ---⋅AC 2 = ---⋅2 = --. 4AC 1 16 16 8](https://img.zadania.info/zad/4026965/HzadR17x.png)
W takim razie
![TG = 1 − x = 5- 8 ∘ ------------ ∘ ----25- ∘ -153 3√ 17- ET = EG 2 + T G 2 = 2 + ---= ----= ------ √ --- 64 64 8 1 3 17 SN = --ET = ------. 2 16](https://img.zadania.info/zad/4026965/HzadR18x.png)
Sposób II
Spróbujmy obliczyć długości wszystkich boków trójkąta tak, aby móc skorzystać z twierdzenia Pitagorasa.
![ES 2 = EA 2 + AS 2 = 1 + 1-= 9- 8 8 2 2 2 9- 2 ST = SC + T C = 8 + x 2 2 2 2 2 ET = EG + TG = 2 + (1 − x) = 3 − 2x + x .](https://img.zadania.info/zad/4026965/HzadR20x.png)
Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie .
![2 2 2 ES + ST = ET 9 9 -+ --+ x2 = 3− 2x + x2 8 8 2x = 3− 9-= 3- ⇒ x = 3. 4 4 8](https://img.zadania.info/zad/4026965/HzadR22x.png)
Zatem
![∘ ------------- ∘ ------- ∘ ---- √ --- 2 25- 153- 3--17- ET = 2 + (1 − x) = 2+ 64 = 64 = 8 √ --- SN = 1ET = 3--17. 2 16](https://img.zadania.info/zad/4026965/HzadR23x.png)
Odpowiedź: