/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Sześcian

Zadanie nr 4026965

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest sześcian ABCDEF GH o krawędzi długości 1. Punkty K i L są środkami odpowiednio krawędzi AD i AB , a punkt S jest środkiem odcinka KL . Punkt T jest takim punktem krawędzi CG , że |∡EST | = 90∘ (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz odległość punktu S od środka odcinka ET .

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia z poniższego rysunku, tzn. niech M będzie środkiem kwadratu ABCD , N środkiem odcinka ET i CT = x .

ZINFO-FIGURE

Trójkąt EST jest prostokątny, więc punkt N jest środkiem opisanego na nim okręgu. W szczególności NS = NE = NT . Wystarczy więc obliczyć długość przeciwprostokątnej ET trójkąta EST . Zauważmy jeszcze, że trójkąt AKL jest dwa razy mniejszy od trójkąta ADB , więc

√ -- AS = 1-AM = 1-AC = --2- 2 4 4 √ -- 3 3 2 CS = AC − AS = -AS = ----. 4 4

Sposób I

Zauważmy, że

∡CST = 180∘ − (∡ASE + 90 ∘) = 90∘ − ∡ASE = ∡AES .

To oznacza, że trójkąty prostokątne SCT i EAS są podobne. Zatem

CT--= AS-- CS AE x 1AC 3 3 3 3----= 4---- ⇒ x = ---⋅AC 2 = ---⋅2 = --. 4AC 1 16 16 8

W takim razie

TG = 1 − x = 5- 8 ∘ ------------ ∘ ----25- ∘ -153 3√ 17- ET = EG 2 + T G 2 = 2 + ---= ----= ------ √ --- 64 64 8 1 3 17 SN = --ET = ------. 2 16

Sposób II

Spróbujmy obliczyć długości wszystkich boków trójkąta EST tak, aby móc skorzystać z twierdzenia Pitagorasa.

ES 2 = EA 2 + AS 2 = 1 + 1-= 9- 8 8 2 2 2 9- 2 ST = SC + T C = 8 + x 2 2 2 2 2 ET = EG + TG = 2 + (1 − x) = 3 − 2x + x .

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie EST .

2 2 2 ES + ST = ET 9 9 -+ --+ x2 = 3− 2x + x2 8 8 2x = 3− 9-= 3- ⇒ x = 3. 4 4 8

Zatem

∘ ------------- ∘ ------- ∘ ---- √ --- 2 25- 153- 3--17- ET = 2 + (1 − x) = 2+ 64 = 64 = 8 √ --- SN = 1ET = 3--17. 2 16

 
Odpowiedź: √ -- 3-1617

Wersja PDF