Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4190056

W sześcian o krawędzi 4 wpisano kulę styczną do trzech ścian sześcianu oraz przechodzącą przez środek sześcianu. Oblicz promień tej kuli.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku. Niech K będzie środkiem, a r promieniem kuli, o której mowa w treści zadania, S niech będzie środkiem sześcianu.


PIC


Po pierwsze zauważmy, że środek kuli, o której mowa w treści zadania leży na przekątnej BH sześcianu. Tak jest, bo przekątna ta składa się punktów, które są w tej samej odległości od ścian ABF E , BCGF i ABCD . Jeżeli L jest punktem styczności kuli ze ścianą ABCD , to

 -- KB = SB − SK = 2√ 3 − r KL = r.

Korzystamy teraz z podobieństwa trójkątów KBL i HBD .

 KB--= HB-- √ --KL HD√ -- 2 3 − r 4 3 √ -- ---------= -----= 3 √ -r 4 2--3- √ -- r − 1 = 3 √ -- √ -- √ -- √ --√ -- √ -- 2--3-= 3+ 1 ⇒ r = √2---3--= 2--3(--3-−-1)-= 3− 3. r 3 + 1 3 − 1

 
Odpowiedź:  √ -- 3 − 3

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!