Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5337677

Sześcian przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy. Płaszczyzna ta tworzy z podstawą kąt α . Dla jakich wartości cos α otrzymany przekrój jest trójkątem?

Wersja PDF
Rozwiązanie

Wystarczy sobie naszkicować opisaną sytuację i widać, że graniczne sytuacje są gdy opisana płaszczyzna (powiedzmy, że zawiera przekątną BD ) przechodzi przez wierzchołki A ′ i C ′ .


PIC


Spróbujemy teraz ustalić jakim kątom odpowiadają te sytuacje.

Jeżeli popatrzymy na trójkąt prostokątny PCC ′ , gdzie P środek podstawy, to ∡CP C′ = α zatem

 √ - PC --2a √ 2a co sα = ----= ∘------2-------- = -∘----------= PC ′ P C2 + (CC ′)2 2 1a2 + a2 √ -- √ -- 2 2 1 3 = √---= √---= -3-. 6 3

Zauważmy, że łatwo ustalić jaki jest kąt α1 w drugim ze skrajnych przypadków, gdy płaszczyzna przechodzi przez punkt  ′ A . Jeżeli oznaczymy przez α 0 przed chwilą wyliczony kąt, to mamy

 √ -- --3- cosα1 = cos(π − α0) = − cosα 0 = − 3

Widać więc, że przekrój będzie trójkątem dla α ∈ (0 ,α 0⟩∪ ⟨α1,π ) . Jeżeli naszkicujemy sobie funkcję cos x , to widać, że odpowiada to warunkowi

 ( ⟩ ⟨ ) √ 3- √ 3- co sα ∈ − 1,− ---- ∪ ----,1 3 3

 
Odpowiedź:  ( √-⟩ ⟨ √ - ) c osα ∈ − 1,− -3- ∪ --3,1 3 3

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!