/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Sześcian

Zadanie nr 5771844

Punkty K i L są środkami odpowiednio podstawy ABCD i krawędzi F G sześcianu ABCDEF GH . Suma kwadratów długości odcinków HK i BL jest równa 33. Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy długość krawędzi sześcianu przez a .

PIC

Obliczamy długości odcinków HK i BL w zależności od a , tak aby móc wykorzystać podaną informację o sumie kwadratów długości tych odcinków.

( √ -) 2 HK 2 = HD 2 + DK 2 = a2 + a--2- = 3a2 2 2 ( ) 2 BL2 = BF 2 + F L2 = a2 + a- = 5a2. 2 4

Mamy zatem

3 5 33 = HK 2 + BL 2 = -a 2 + -a2 2 4 33 = 11a2 ⇒ a 2 = 12. 4

Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest więc równe

6a2 = 6⋅1 2 = 72.

 
Odpowiedź: 72

Wersja PDF