/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Sześcian

Zadanie nr 6984843

Przez środki trzech różnych krawędzi sześcianu ABCDA 1B1C 1D1 wychodzących z wierzchołka B poprowadzono płaszczyznę, która wyznaczyła przekrój bryły – trójkąt KLM . Oblicz odległość wierzchołka B od tego przekroju, jeżeli wiadomo, że długość krawędzi sześcianu wynosi 8.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy, że na naroże KLMB możemy patrzeć jak na ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym krawędzie boczne mają długość AB2-= 4 , a krawędzie podstawy długość √- AB-1= 8-2-= 4√ 2- 2 2 . Do obliczenia mamy długość wysokości BP tego ostrosłupa.

PIC

Sposób I

Patrzymy na trójkąt prostokątny KBP . Wiemy, że KB = 4 , a długość odcinka KP to 2 3 wysokości trójkąta równobocznego KLM , czyli

√ -- √ -- √ -- KP = 2-⋅ 4-2-⋅--3-= 4--6. 3 2 3

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie KBP .

( ) BP 2 = KB 2 − KP 2 = 16 − 16⋅6-= 16 1 − 6- = 16 ⋅ 3. 9 9 9

Zatem √ - BP = 4-33 .

Sposób II

Długość wysokości BP możemy też obliczyć licząc na dwa sposoby objętość ostrosłupa KLMB . Z jednej strony mamy

1 3VKLMB = PKBL ⋅BM = --⋅KB ⋅BL ⋅BM = 3 2. 2

Z drugiej strony,

√ -- -- (4 2)2 ⋅√ 3 √ -- 3VKLMB = PKLM ⋅BP = -------------⋅BP = 8 3⋅BP . 4

Mamy zatem

√ -- 32 4 4√ 3- 8 3 ⋅BP = 3VKLMB = 32 ⇒ BP = -√---= √---= ----. 8 3 3 3

 
Odpowiedź: - 4√-3 3

Wersja PDF