/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Sześcian

Zadanie nr 7545547

Punkty K i L są środkami odpowiednio podstawy ABCD i krawędzi F G sześcianu ABCDEF GH . Suma kwadratów długości odcinków HK i BL jest równa 44. Oblicz objętość tego sześcianu.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy długość krawędzi sześcianu przez a .

PIC

Obliczamy długości odcinków HK i BL w zależności od a , tak aby móc wykorzystać podaną informację o sumie kwadratów długości tych odcinków.

( √ -) 2 HK 2 = HD 2 + DK 2 = a2 + a--2- = 3a2 2 2 ( ) 2 BL2 = BF 2 + F L2 = a2 + a- = 5a2. 2 4

Mamy zatem

3 5 44 = HK 2 + BL 2 = -a2 + --a2 2 4 44 = 11a2 ⇒ a2 = 16 ⇒ a = 4. 4

Objętość sześcianu jest więc równa

a3 = 64.

 
Odpowiedź: 64

Wersja PDF