Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7546342

Płaszczyzna p jest styczna do kuli wpisanej w sześcian  ′ ′ ′ ′ ABCDA B C D o krawędzi długości 2a oraz przecina krawędzie AB , AD i AA ′ w takich punktach E ,F i G odpowiednio, że AE = AF = AG = x . Wykonaj odpowiedni rysunek i wyznacz x .


PIC


Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku.


PIC


Łatwo jest obliczyć wysokość AK ostrosłupa AEF G – jest to różnica między długością połowy przekątnej sześcianu a promieniem kuli wpisanej. Długość przekątnej AC ′ możemy wyliczyć np. z trójkąta prostokątnego  ′ ABC

 -------------- ′ ∘ 2 ′ 2 ∘ --2-----2- √ -- AC = AB + (BC ) = 4a + 8a = 2 3a.

Mamy zatem

 √ -- √ -- AK = AO − KO = 3a− a = ( 3 − 1)a.

Z trójkąta prostokątnego AGE mamy  √ -- GE = 2x . Zatem ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym mamy

 √ -- √ -- √ -- 2 ( 2x) 3 6 GK = -⋅ ----------= ---x . 3 2 3

Stosujemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie AKG

 2 2 2 AG = AK + GK √ -- 2 √ -- 2 2 ( 6)2 2 x = ( 3− 1) a + ------x √ -- 9 x 2 = (4− 2 3)a2 + 2x 2 √ -- 3 3x 2 = (12 − 6 3)a2 + 2x 2 √ -- √ -- x 2 = (12− 6 3)a2 = 3( 3− 1 )2a2 ∘ ------√--- √ --√ -- √ -- x = 12 − 6 3a = 3( 3 − 1)a = (3 − 3)a

 
Odpowiedź:  ---------- ∘ √ -- √ -- x = 12 − 6 3a = (3− 3)a

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!