/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Sześcian

Zadanie nr 7654508

Oblicz odległość środka ściany sześcianu o krawędzi długości a od przekątnej tego sześcianu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy sześcian.

PIC

Na powyższym rysunku D jest środkiem ściany sześcianu (a więc też środkiem odcinka AC ), E jest środkiem sześcianu (a więc środkiem przekątnej BC ), a F jest rzutem punktu D na przekątną BC . Zadanie sprowadza się do obliczenia długości wysokości DF w trójkącie prostokątnym DEC .

Sposób I

Trójkąty CF D i CAB są oba prostokątne oraz mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku C . Są więc podobne. Korzystamy z tego podobieństwa i mamy

DF BA ----= ---- CD CB --h--- --a-- 1a√ 2-= a√ 3- 2 √ -- √ -- 12a 2 6 h = --√--- = ---a 3 6

Sposób II

Obliczamy pole trójkąta CDE na dwa sposoby.

1 1 --CE ⋅h = PCDE = --DE ⋅CD /⋅ 2 2 √ -- 2√ -- 1-a 3 ⋅h = 1-a⋅ 1a 2 2 √ -- 2 -2 1a 2 √ 6 h = 2√----= ---a 3 6

 
Odpowiedź: √ - -66a

Wersja PDF