Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8105831

Sześcian ABCDKLMN przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną BD podstawy, która jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α takim, że tg α = 43 (zobacz rysunek).


PIC


Odległość wierzchołka C od płaszczyzny tego przekroju jest równa 6. Oblicz objętość sześcianu ABCDKLMN .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Niech P będzie środkiem podstawy a R punktem, w którym płaszczyzna opisana w treści zadania przecina krawędź boczną sześcianu.


PIC


Przy tych oznaczeniach odległość punktu C od płaszczyzny przekroju to po prostu wysokość CS opuszczona z wierzchołka C w trójkącie prostokątnym P CR . Zanim jednak wykorzystamy tę informację, obliczmy sin α .

 4 sin α 2 --= tg α = ----- /() 3 2 co sα 2 16-= sin--α-= --sin--α--- 9 cosα 1− sin 2α ∘ --- 16 − 16 sin 2α = 9 sin 2α ⇒ sinα = 16-= 4-. 25 5

Jeżeli oznaczymy przez a długość krawędzi sześcianu, to mamy

SC--= sin α P C -6-- 4- 5- -2-- -15- a√-2 = 5 ⇒ a = 6 ⋅4 ⋅√ 2-= √ 2-. 2

Objętość sześcianu jest więc równa

 ( )3 √ -- V = a3 = √15- = 33√75-= 3375---2 2 2 2 4

 
Odpowiedź:  √- 3375-2 4

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!