/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy czworokątny/Pole powierzchni

Zadanie nr 6558564

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości H = 14 . Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy 34 . Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

PIC

Oznaczmy przez a długość krawędzi podstawy graniastosłupa. Korzystając ze wzoru na długość przekątnej kwadratu mamy

√ -- a--2- EC = 2 .

Z podanego cosinusa kąta α między krawędzią ostrosłupa, a płaszczyzną podstawy mamy

√ - 3 EC a--2 a√ 2- 4 2 √ 2- --= cos α = ----= -2-- ⇒ SC = -----⋅ --= -----a. 4 SC SC 2 3 3

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym SCE .

2 2 2 SE + EC = SC a2 8 2 196 + 2--= 9-a 2 2 196 = 8a--− a--= 16-−-9-a2 = -7-a2 / ⋅ 18 9 2 18 --- 18 7 a2 = 1 4⋅36 ⇒ a = 6√ 14 .

Obliczamy jeszcze wysokość h ściany bocznej ostrosłupa.

∘ -------(--)2 √ ---------- √ ---- h = SE 2 + a- = 1 96+ 126 = 3 22. 2

Pozostało obliczyć pole powierzchni bocznej ostrosłupa.

1 √ --- √ ---- √ --- Pb = 4PBCS = 4 ⋅--⋅a ⋅h = 12 1 4⋅ 32 2 = 168 2 3. 2

 
Odpowiedź: √ --- Pb = 168 23

Wersja PDF