/Studia/Analiza/Funkcje/Badanie funkcji/Pochodne/Ekstrema

Zadanie nr 1691933

Wyznacz ekstrema funkcji 2 −x f (x) = x e .

Rozwiązanie

Liczymy pochodną funkcji.

′ 2 ′ −x 2 ( −x)′ −x 2 −x f (x) = (x ) e + x e = 2xe − x e = = e−x (2x− x2) = e−xx (2− x).

Widać teraz, że znak pochodnej jest taki sam jak znak wyrażenia x(2− x) , czyli pochodna jest ujemna w zbiorze (− ∞ ,0)∪ (2,+ ∞ ) oraz dodatnia w przedziale (0 ,2) . To oznacza, że funkcja jest malejąca w pierwszym z tych zbiorów i rosnąca w drugim. To z kolei oznacza, że w punkcie x = 0 jest minimum lokalne, a w punkcie x = 2 maksimum lokalne.