/Studia/Analiza/Funkcje/Badanie funkcji/Pochodne/Monotoniczność

Zadanie nr 2571470

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dana jest funkcja x2+6x+10- f(x ) = x+ 3 .

  • Określ przedziały monotoniczności tej funkcji.
  • Znajdź ekstrema lokalne funkcji f .

Rozwiązanie

  • Korzystamy ze wzoru na pochodną ilorazu.

    ( ) f- ′ f′g-−-f-g′- g = g2

    liczymy pochodną danej funkcji

    ′ (2x+ 6)(x + 3) − (x2 + 6x + 10) ⋅1 f (x) = ---------------------2-------------- (x + 3 ) 2x2 +-12x-+-18-−-x-2 −-6x-−-1-0 = (x+ 3)2 2 = x-+--6x-+-8. (x + 3)2

    Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności danej funkcji, musimy zbadać znak pochodnej. Mianownik jest dodatni (o ile x ⁄= − 3 ), musimy zatem rozłożyć trójmian w liczniku. Δ = 3 6− 32 = 4 , x = − 4 1 , x2 = −2 . Widzimy zatem, że licznik jest dodatni dla x ∈ (− ∞ ,− 4) ∪ (− 2,∞ ) i ujemny dla x ∈ (− 4,− 2) . Uwzględniając jeszcze fakt, że musi być x ⁄= − 3 mamy

    { f jest rosn ąca na przedzia łach (− ∞ ,− 4⟩ oraz ⟨− 2,∞ ) f jest malej ąca na przedzia łach ⟨− 4,− 3) oraz (− 3,− 2⟩

     
    Odpowiedź: Rosnąca w (− ∞ ,− 4⟩ i ⟨− 2,∞ ) , malejąca w ⟨− 4,− 3) i (− 3,− 2⟩ .

  • Z poprzedniego podpunktu wiemy, że miejsca zerowe pochodnej to x = −4 i x = − 2 . Ponadto w pierwszym z tych punktów funkcja zmienia znak z ’+’ na ’-’, a w drugim odwrotnie. Zatem w x = − 4 mamy maksimum lokalne, a w x = − 2 minimum lokalne. Odpowiadające wartości f , to f(− 4) = − 2 i f (−2 ) = 2 .  
    Odpowiedź: Minimum lokalne: f(− 2) = 2 , maksimum lokalne: f (− 4) = − 2 .

Dla ciekawskich, wykres funkcji f .

PIC
Wersja PDF