/Studia/Analiza/Funkcje/Badanie funkcji/Pochodne/Monotoniczność/Funkcje wymierne

Zadanie nr 6888060

Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji -x−-3- f (x) = (x+7)2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru na pochodną ilorazu

( ) ′ ′ ′ f- = f-g−--fg-. g g2

Liczymy

( )′ 2 ----x-−-3----- 1-⋅(x--+-14x-+--49)−--(x−--3)⋅(2x-+--14) x2 + 14x + 49 = (x + 7)4 = 2 2 2 = x--+-1-4x+--49-−-(2x--+-14x-−-6x-−--42) = −x---+-6x-+--91. (x+ 7)4 (x+ 7)4

Aby ustalić jaki jest znak licznika otrzymanego wyrażenia wyznaczamy jego pierwiastki.

2 − x + 6x + 91 = 0 Δ = 36+ 4⋅9 1 = 400 x = −6-−-2-0-= 13 lub x = −-6+--20-= − 7. − 2 − 2

Mamy zatem

f′(x) = −-(x-−-1-3)(x+--7) (x + 7)4

Widzimy teraz, że ′ f (x) jest dodatnia dla x ∈ (− 7,13 ) i ujemna dla x ∈ (− ∞ ,− 7) ∪ (13,+ ∞ ) . To oznacza, że f rośnie w przedziale (− 7,13⟩ i maleje w każdym z przedziałów: (− ∞ ,− 7) i ⟨13,+ ∞ ) .

Na koniec dla ciekawskich wykres funkcji f .

PIC

 
Odpowiedź: Rosnąca w (− 7 ,1 3⟩ , malejąca w (− ∞ ,− 7) i ⟨13,+ ∞ ) .

Wersja PDF