/Szkoła średnia/Funkcje/Trygonometryczna/Różne

Zadanie nr 3754413

Uzasadnij, że liczba π- cos 12 jest niewymierna.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Korzystamy ze wzoru na cos 2α

2 cos2α = 2co s α − 1

Biorąc -π α = 12 mamy

π- 2 π-- co s6 = 2 cos 12 − 1 √ -- --3-= 2co s2 π-− 1 2-- 12 √ 3 + 2 π --------= 2cos2 --- √ -2 12 --3-+-2- 2-π- 4 = cos 1 2.

Skoro kwadrat cos π- 12 jest niewymierny, to sam cosinus też.

Sposób II

Ponieważ π12 = 15∘ = 45 ∘ − 3 0∘ , możemy skorzystać ze wzoru na cosinus różnicy.

π ( π π) π π π π cos ---= co s --− -- = cos --cos --+ sin -- sin -- = √12- √ -- 4√ -- 6 √ -- 4√ -- 6 4 6 2 3 2 1 6+ 2 = ----⋅----+ ---⋅ --= ---------. 2 2 2 2 4

Oczywiście jest to liczba niewymierna.

Wersja PDF