Zadanie nr 9527003

Proste i są równoległe do osi i przecinają wykres funkcji 4-- y = − |x| odpowiednio w punktach A ,B i D,C w ten sposób, że czworokąt ABCD jest trapezem o polu 6 i wysokości 2. Oblicz obwód trapezu ABCD .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Wykres funkcji -4- ||4|| y = − |x| = − |x| powstaje z wykresu funkcji 4 y = x przez odbicie części powyżej osi na dół.

Ponieważ funkcja ta jest parzysta, proste y = k i y = l przecinają jej wykres w punktach położonych symetrycznie względem osi . Możemy więc oznaczyć współrzędne tych punktów przez

( ) ( ) -4 4- A = −x ,− x , B = x,− x ( ) ( ) D = −y ,− -4 , C = y,− 4- . y y

Załóżmy ponadto, że jest tak jak na obrazku, czyli y > x > 0 . Podstawy trapezu mają długości i , więc podane pole daje równanie

2x+--2y- 6 = 2 ⋅2 / : 2 3 = x + y .

Wysokość trapezu jest równa

4 ( 4) 4 4 4 (y− x) − --− − -- = --− --= ---------, y x x y xy

skąd mamy drugie równanie

4 (y− x) xy --------- = 2 / ⋅--- xy 2 2y − 2x = xy.

Podstawiamy teraz w tym równaniu y = 3− x .

2(3 − x) − 2x = x(3− x) 2 6− 2x − 2x = 3x− x x2 − 7x + 6 = 0 Δ = 49− 24 = 25 7 − 5 7+ 5 x = ------= 1 ∨ x = ------= 6 . 2 2

Mamy wtedy y = 3 − x = 2 i y = 3 − x = − 3 odpowiednio. Drugie rozwiązanie jest sprzeczne z naszym założeniem y > 0 , więc musi być (x,y ) = (1,2) . Wtedy