Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9527003

Proste k i l są równoległe do osi Ox i przecinają wykres funkcji  4-- y = − |x| odpowiednio w punktach A ,B i D,C w ten sposób, że czworokąt ABCD jest trapezem o polu 6 i wysokości 2. Oblicz obwód trapezu ABCD .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Wykres funkcji  -4- ||4|| y = − |x| = − |x| powstaje z wykresu funkcji  4 y = x przez odbicie części powyżej osi Ox na dół.


PIC


Ponieważ funkcja ta jest parzysta, proste y = k i y = l przecinają jej wykres w punktach położonych symetrycznie względem osi Oy . Możemy więc oznaczyć współrzędne tych punktów przez

 ( ) ( ) -4 4- A = −x ,− x , B = x,− x ( ) ( ) D = −y ,− -4 , C = y,− 4- . y y

Załóżmy ponadto, że jest tak jak na obrazku, czyli y > x > 0 . Podstawy trapezu mają długości 2x i 2y , więc podane pole daje równanie

 2x+--2y- 6 = 2 ⋅2 / : 2 3 = x + y .

Wysokość trapezu jest równa

 4 ( 4) 4 4 4 (y− x) − --− − -- = --− --= ---------, y x x y xy

skąd mamy drugie równanie

4 (y− x) xy --------- = 2 / ⋅--- xy 2 2y − 2x = xy.

Podstawiamy teraz w tym równaniu y = 3− x .

2(3 − x) − 2x = x(3− x) 2 6− 2x − 2x = 3x− x x2 − 7x + 6 = 0 Δ = 49− 24 = 25 7 − 5 7+ 5 x = ------= 1 ∨ x = ------= 6 . 2 2

Mamy wtedy y = 3 − x = 2 i y = 3 − x = − 3 odpowiednio. Drugie rozwiązanie jest sprzeczne z naszym założeniem y > 0 , więc musi być (x,y ) = (1,2) . Wtedy

A = (− 1 ,− 4 ), B = (1,− 4), D = (− 2,− 2), C = (2,− 2).

Podstawy trapezu mają długości 2x = 2 i 2y = 4 , a ramię ma długość

 ∘ ----------------------- √ ------ √ -- AD = (− 2+ 1 )2 + (− 2 + 4)2 = 1 + 4 = 5.

Obwód trapezu jest więc równy

 √ -- √ -- 2+ 4+ 2 5 = 6 + 2 5 .

 
Odpowiedź:  √ -- 6 + 2 5

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!